Mechanika - zasady_statyki

ZASADY STATYKI
1. Zasada równoległoboku - dwie siły przyłożone do jednego punktu możemy zastąpić jedną siłą wypadkową, która jest przekątną równoległoboku zbudowanego na tych wektorach
2. Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego są w równowadze gdy działają wzdłuż jednej prostej i mają te same wartości, ale przeciwne zwroty. Układ taki nazywamy zerowym.
3. Działanie układu sił nie ulegnie zmianie, gdy do układu tego dodamy układ wzajemnie równoważących się sił.
4. Zasada zesztywnienia działanie układu sił nie ulegnie zmianie przez zesztywnienie ciała na które działają te siły.
5. Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej przeciwdziałanie.
6. Zasada oswobodzenia z więzów - każde ciało nieswobodne można oswobodzić z więzów zastępując je reakcjami. Wówczas można rozpatrywać takie ciało jako swobodne znajdujące się pod działaniem sił sztywnych i biernych. Momentem siły P względem punktu 0 nazywamy iloczyn wektorowy tej siły przez promień - wektor łączący 0 z dowolnym punktem na linii działania tej siły.
Momentem siły P względem osi l nazywamy rzut wektora momentu siły obliczonego względem dowolnego punktu na osi l na kierunek tej siły. Para sił to układ sił równoległych o tych samych wartościach liczbowych lecz zwrotach przeciwnych.
Własności
-moment pary sił nie zależy od wyboru bieguna względem którego wyznaczamy i jest wartością stałą.
-każdą parę sił działającą w dowolnej płaszczyźnie możemy zastąpić inną parą sił działającą w tej samej płaszczyźnie o momencie równym momentowi pierwotnemu.
-pary sił działające w jednej płaszczyźnie możemy zastąpić jedną parą sił o momencie równym sumie momentów poszczególnych par sił
-pary sił działające w różnych płaszczyznach możemy zastąpić parą o momencie równym sumie geometrycznej momentów sił. REDUKCJA DOWOLNEGO UKŁADU SIŁ
Mo=?a=1nMa - moment główny układu sił
S=?k=1nPk - wektor główny układu sił
M01=M0-r?s - wzór Bosma (moment siły S względem bieguna O gdzie r = OO1)
MO1*S= MOS=k=const Iloczyn momentu głównego względem dowolnego punktu ciała i wektora głównego układu jest równy iloczynowi mom. gł. układu względem bieguna redukcji O i jest stały = k.
S jest pierwszym niezmiennikiem układu sił.
k - parametr układu jest drugim niezmiennikiem układu sił.

Skrętnik - wynik redukcji dla którego wektor momentu głównego M.O jest wektorem równoległym do wektora głównego S Oś centralna układu - prosta równoległa do wektora głównego S, na której leżą wszystkie bieguny redukcji, względem których układ redukuje się do skrętnika. Równanie parametryczne osi centralnej
(Mx-(ySz-zSy))/Sx= (My-(zSx-xSz))/Sy= (Mz-(xSy-ySx))/Sz TABLICA REDUKCJI
S
M.O
K
Wynik
S?0
M.O?0
K?0
Skrętnik lub 2 siły równoległe
S?0
M.O?0
K=0
Wypadkowa
S?0
M.O=0
K=0
Wypadkowa
S=0
M.O?0
K=0
Para sił
S=0
M.O=0
K=0
Równowaga układu sił
SZCZEGÓLNE UKŁADY SIŁ
Zbieżny układ sił - układ sił których linie działania przecinają się w jednym punkcie. Jeżeli wszystkie siły układu zbieżnego leżą w jednej płaszczyźnie układ taki nazywamy płaskim zbieżnym układem sił.
Każdy płaski układ sił można zredukować do wypadkowej
M0-(x?i=1nPiy-Pix)=0 - równanie prostej działania wypadkowej Warunki równowagi płaskiego układu sił M.O=0 , S=0 Układ sił równoległych - układ sił których linie działania są do siebie równoległe. Układ sił da się zredukować do wypadkowej k=0 lub pary sił gdy S=0. Środek sił równoległych to punkt zaczepienia ich wypadkowej
Środek sił równoległych - określa się jako współrzędne xs, ys, zs xs=(?xiPi)/ ?Pi; ys==(?yiPi)/ ?Pi; zs=(?ziPi)/ ?Pi; Moment statyczny punktu materialnego względem dowolnej płaszczyzny to iloczyn masy tego punktu i jego odległości od płaszczyzny.
Środek ciężkości to punkt w którym skupiona masa układu ma względem dowolnej płaszczyzny lub osi taki sam moment statyczny jak cały układ materialny TWIERDZENIA DOTYCZĄCE ŚRODKA MASY:
1)środek masy układu płaskiego leży w płaszczyźnie tego układu
2)środek masy linii prostej leży na tej linii
3)środek masy dwóch punktów materialnych leży na prostej łączącej te punkty i dzieli ją na odcinki o długościach odwrotnie proporcjonalnych do ich mas.
4)Środek masy układu mającego środek symetrii leży w tym środku. Jeżeli układ ma 2 lub więcej osi symetrii to środek leży w punkcie przecięcia się tych osi
5)Rzut środka ciężkości figury płaskiej na dowolną płaszczyznę jest środkiem ciężkości rzutu tej figury na dowolną płaszczyznę.
6)Moment statyczny względem osi lub płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości jest zawsze równy 0.
7)Moment statyczny nie zmieni się jeżeli zamiast części układu wprowadzimy punkt materialny o masie równej masie danej części leżący w środku ciężkości tej części masy. TARCIE KINETYCZNE
QGR=?G; TMAX=?T; 0?Q? QGR; 0?T?TGR tg?gr= TGR/N=?N/N=? ; ?gr=arctg? ; 0GR Tarcie na równi pochyłej
Suma PX=0 Gsin?-T=0
Suma PY=0 N-Gcos?=0
TMAX=?T; TMAX= Gsin?max; tg?max=?
?max=arctg? warunek samohamowalności równi Tarcie przy toczeniu QR=NT f- współ. tarcia przy toczeniu NfMax=MT moment tarcia przy toczeniu
0? MT?QR=Nf Tarcie pasów o koła
S=S1e; ?- kąt opasania; S,S1 - siła naciągu pasa
PRĘT
Pręt - bryła której jeden wymiar wyraźnie dominuje nad pozostałymi. Pręt powstaje w wyniku przesuwania figury płaskiej A wzdłuż krzywej k, tak że figura pozostaje zawsze prostopadła do krzywej k, a jej środek ciężkości zawsze znajduje się na krzywej k. Figurę płaską nazywamy przekrojem normalnym pręta a krzywą k - osią pręta.
T- siła poprzeczna
N - siła normalna
Ms - moment skręcający
Mg - moment gnący Siłą normalną w przekroju aa nazywamy sumę rzutów wszystkich sił znajdujących się po jednej stronie przekroju na kierunek normalny do przekroju (dodatnia jeżeli powoduje rozciąganie).
Siłą poprzeczną w przekroju aa nazywamy sumę wszystkich sił znajdujących się po jednej stronie przekroju (względem jego środka ciężkości) na kierunek prostopadły do osi przekroju.
Moment zginający przekroju aa nazywamy rzut wektora momentu będącego sumą momentów wszystkich sił znajdujących się po jednej stronie przekroju na kierunek styczny do przekroju (dodatni gdy powoduje wygięcie wypukłe w dół).
Tw. Schwedlera. pochodna momentu gnącego względem współrzędnej pokrywającej się z osią pręta jest równa sile poprzecznej dMg/ds.=T; d2M.g/dx2=dT/dx=-q; q - gęstość obciążenia
KRATOWNICE
Pręt prosty nieobciążony na długości i zakończony przegubami to pręt przegubowy
Kratownica to układ prętów przegubowych połączonych ze sobą przegubami. Kratownica jest płaska jeśli pręty i obciążenia leżą w jednej płaszczyźnie
Warunek konieczny na to aby kratownica była geometrycznie niezmienna - P=2W-3; P- pręty; W - węzły (przeguby)
Metody wyznaczania sił w prętach kratownicy
analogiczne
1)równoważenia węzłów - wycinamy węzły w kratownicach i piszemy warunki równowagi dla każdego z osobna
2)przecięć Rittera - piszemy 3 warunki momentów (tylko 1 niewiadoma)
wykreślne
1)Cremana
2)Cluman KINEMATYKA
Prędkości i przyspieszenia
V=dr/dt=dr/ds. * ds./dt=ds./dt * ?
|V|=ds./dt V=V*?
a=dV/dt=d/dt(V*?)=dV/dt * ? + V*d?/dt
a= d2s/dt2 * ? + V2/r * n Stopnie swobody - liczba niezależnych parametrów potrzebnych do określenia położenia ciała sztywnego w przestrzeni.
Ciało swobodne (nie poddawane działaniu więzów posiada 6 stopni swobody) n = 6 - w . Funkcje określające położenie ciała nazywamy równaniami ruchu ciała sztywnego (ich ilość równa jest ilości stopni swobody)
Ruch kulisty - taki ruch ciała sztywnego, podczas którego jeden jego punkt pozostaje nieruchomy (środek ruchu kulistego). W ruchu kulistym torami punktu ciała są krzywe, które leżą na powierzchniach kul o promieniach równych odległościom tych punktów od punktu nieruchomego.
v = ? ? r ; a = ? ? r
Ruch obrotowy - ruch wokół prostej łączącej dwa nieruchome punkty ciała sztywnego. Prostą nazywamy osią obrotu.
? = d?/dt ; |a?| = ?*r = [d2?/dt2]*r |an| = ?2*r ; v = ? ? r Ruch postępowy - ruch, w którym dowolna prosta sztywno związana z poruszającym się ciałem pozostaje stale równoległa do położenia, jakie zajmowała w dowolnie obranej chwili czasu t, na przykład w chwili początkowej.
Ruch płaski - ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą.
VB = VA + ? ? AB ; VB = VA + VBA ; aB = aA + aBA ; aB = aA + asBA + anBA
Chwilowy środek prędkości w ruchu płaskim - jeżeli chwilowa prędkość kątowa jest niezerowa to musi istnieć taki punkt, którego prędkość jest równa zero.
Chwilowy środek przyśpieszeń - w ruchu płaskim jeżeli ? i ? nie są jednocześnie równe zero istnieje punkt, którego przyśpieszenie jest równe zero.
Ruch unoszenia - ruch układu ruchomego względem nieruchomego układu odniesienia.
Ruch względny - ruch punktu względem układu ruchomego.
Ruch bezwzględny - ruch punktu względem układu nieruchomego.
Prędkość bezwzględna - jest równa wektorowej sumie prędkości względnej i unoszenia Vb = Vw + Vu
Przyśpieszenie bezwzględne - jest wektorową sumą przyśpieszenia względnego, unoszenia i Coriolisa
ab = aw + au + ac
gdzie aw - przyśpieszenie punktu względem ruchomego układu odniesienia
au - przyśpieszenie punktu układu ruchomego pokrywającego się z danym punktem
ac = 2Vw przyśp. Coriolisa D Y N A M I K A
Zasada pędu - pochodna wektora pędu względem czasu t jest równa sile działającej na punkt materialny
F = dp/dt
Zasada zachowania pędu - jeżeli na ciało nie działają żadne siły lub działające pozostają w równowadze (P = 0) to pęd ciała jest stały p = const.
Prawa dynamiki Newtona
1)Jeżeli na punkt materialny w pewnym okresie czasu nie działają żadne siły lub siły działające wzajemnie się równoważą, to punkt pozostaje w spoczynku, lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.
2)Przyśpieszenie punktu materialnego ma wartość wprost proporcjonalną do wartości działającej siły i ma jej kierunek i zwrot F = ma
3)Jeżeli na punkt materialny A działa punkt materialny B to również punkt materialny B działa na punkt materialny A siłą równą co do wartości i kierunku o zwrocie przeciwnym. Siły te leżą na prostej łączącej oba te punkty.
Prawo powszechnego ciążenia - dwa punkty materialne oddziaływują na siebie siłami ? (m1m2)/r2 ; |P| = k*(m1m2)/r2
Siła bezwładności. Zasada d'Alamberta: P + B = 0 Siły działające na ciało są w równowadze z siłą bezwładności.
Prawo superpozycji: ma = P1 + P 2 + ... + Pn przyśpieszenie punktu materialnego na który działają siły P1...Pn równe jest sumie geometrycznej przyśpieszeń, które miałby ten punkt gdyby każda siła działała z osobna
Bezwładnościowy układ odniesienia - układ względem którego obowiązują prawa dynamiki Newtona. Każdy układ odniesienia poruszający się względem układu bezwładnościowego jednostajnym ruchem postępowym jest także układem bezwładnościowym.
Zasada krętu - pochodna wektora krętu względem czasu t jest równa momentowi siły działającej na punkt materialny obliczanego względem tego samego punktu co kręt.
dK0/dt = M0
Zasada zachowania krętu - jeżeli w pewnym okresie czasu moment siły działającej na punkt materialny jest stale równy 0, wówczas kręt jest stały.
Zasada względności mechaniki klasycznej - Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie możemy wykazać istnienia prostoliniowego jednostajnego ruchu postępowego układu odniesienia. PRACA, MOC, ENERGIA Praca mechaniczna - praca siły stałej na drodze prostoliniowej, kierunek działania siły pokrywa się z drogą.
Przesunięcie elementarne - nieskończenie mały wektor ds o wielkości równej różniczce łuku drogi.
ds = dxi +dyj + dzk
Elementarną praca siły zmiennej P na elementarnym przesunięciu ds nazywamy iloczyn skalarny tej siły przez przesunięcie.
?L = P*ds ; ?L =Pxdx + Pydy + Pzdz ; LAB = ?AB(?L) = ?AB(Pxdx + Pydy + Pzdz)
dla toru kołowego: ?L = M0d? ; LAB = A?B(M0d?)
Moc - praca odniesiona do jednostki czasu
N = dW/dt = P*(dr/dt) = P*v
dla ruchu obrotowego: N = (M0d?)/dt = M0?
Sprawność - stosunek pracy użytecznej do pracy włożonej
Lc = L? + Lst - straty
? = (L?/Lc) < 1
Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej: Skończony przyrost energii kinetycznej układu mechanicznego ciał materialnych z położenia o konfiguracji elementów A do położenia o konfiguracji elementów B jest równy sumie prac całkowitych układów sił zewnętrznych i zewnętrznych na tym przemieszczeniu
mVB2/2 - mVA2/2 = LAB ; EkB - EkA = LAB
Przyrost Ek w czasie od t1 do t2 jest równy pracy wykonanej przez siłę działającą na punkt materialny w tym samym czasie. P O L A P O T E N C J A L N E
Pole wektorowe - ograniczony obszar w którym każdemu punktowi przyporządkowano wektor.
Pole wirowe niezachowawcze, niepotencjalne - pola, w których praca zależy od kształtu toru.
LAB = ?AB(Pxdx + Pydy + Pzdz)
Pole potencjalne - to pole sił, w którym praca nie zależy od drogi przejścia, lecz tylko od położenia punktu początkowego i końcowego. Praca po linii zamkniętej w polu potencjalnym wynosi 0. Jeżeli istnieje funkcja pola F(x,y,z), z której różniczka: dF = (?F/?x)dx + (?F/?y)dy + (?F/?z)dz , to pole nazywamy potencjalnym.
Potencjał pola sił - taka skalowana funkcja położenia V(x,y,z), której pochodne cząstkowe podług odpowiednich kierunków są równe składowym siły pola w tych kierunkach wziętych ze znakiem "-". Miejsce geometryczne punktów, w których funkcja V przyjmuje jednakową wartość, nazywamy powierzchnią izoskalarną, lub ekwipotencjalną. Aby pole było potencjalne to: rotP = 0 ; rotP = (?Pz/?y - ?Py/?z)i + (?Px/?z - ?Pz/?x)j + (?Py/?x - ?Px/?y)k
Zasada zachowania energii mechanicznej - w polu potencjalnym suma energii kinetycznych i potencjalnej jest wartością stałą.
EkA + VA = EkB + VB
Wnioski dotyczące pól potencjalnych:
1)Potencjał jest to skalarna funkcja położenia, określona jako: gradV = -P
2)Potencjał istnieje w polu, w którym: rotP = 0
3)W polu potencjalnym praca elementarna jest równa różniczce zupełnej potencjału ze znakiem "-" ?L = -dV
4)Praca całkowita w polu potencjalnym jest równa różnicy potencjałów i nie zależy od kształtu drogi
5)Praca całkowita w polu potencjalnym po torze zamkniętym jest równa 0
6)Siły pola są prostopadłe do powierzchni izoskalarnych
7)Siły pola są zwrócone od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału.
Pole stałe - pole, w którym siła jest stała co do kierunku, zwrotu i wartości.
Pole centralne (środkowe) - wielkość siły w dowolnym punkcie pola zależy tylko od odległości od jego środka.
Moment bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy punktu przez kwadrat odległości tego punktu od danej płaszczyzny osi, czy bieguna.
Promień bezwładności - taka odległość od płaszczyzny, osi lub bieguna, której kwadrat pomnożony przez masę układu da nam jego moment bezwładności.
Masa zredukowana - masa, która pomnożona przez kwadrat odległości od osi, płaszczyzny lub bieguna da nam moment bezwładności.
Momentem zboczenia (dewiacji) układu punktów materialnych względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn nazywamy sumę iloczynów mas tych punktów przez odległości od tych płaszczyzn.
Ixy = ?i=1m(mixiyi) ; Iyz = ?i=1m(miyizi) ; Izx = ?i=1m(mizixi) ; Ixy = ?m(xy)dm ...
Twierdzenie Steinera - moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi osi równoległej i przechodzącej przez środek masy układu powiększonemu o iloczyn masy całkowitej i kwadratu odległości między tymi osiami. I = I0 + md2
Główne momenty bezwładności - pierwiastki równania sekularnego
I1>I2>I3 , gdzie I1 = Imax, I3 = Imin 1)Każda oś symetrii jest osią główną.
2)Każda prosta prostopadła do płaszczyzny symetrii jest też osią główną.
3)Każda prosta, na której leżą środki mas warstw elementarnych otrzymywanych przez podział ciała płaszczyznami prostopadłymi do tej prostej też jest osią główną.
4)Momenty dewiacji względem głównych osi bezwładności są równe zero.
5)Jeżeli główne osie bezwładności przechodzą przez środek masy układu to nazywamy je centralnymi.
Ruch i własności dynamiczne środka masy
6)Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi masy całkowitej układu umieszczonej w środku masy.
7)Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak jakby była w nim skupiona całkowita masa układu poddana działaniu sumy wszystkich sił.
8)Pochodna pędu głównego układu punktów materialnych równa się sumie wszystkich sił działających na układ.
Twierdzenie Kóniga - energia kinetyczna ciała sztywnego równa się sumie energii kinetycznej ruchu postępowego całej masy skupionej w środku masy oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego ciała sztywnego dookoła osi przechodzącej przez środek masy.
Ek = mu2/2 + Ik?2
Reakcje dynamiczne łożysk osi obrotu
RAz = (-?2/l)Iyz ; RAx = (-?2/l)Ixy ; ROx = (?2/l)Ixy - ?2xsm ; ROz = (?2/l)Iyz - ?2zsm Jeżeli reakcje dynamiczne są niezerowe układ jest dynamicznie nie wyważony. Reakcje dynamiczne będą zerowe jeżeli oś obrotu będzie jedną z głównych centralnych osi bezwładności wirującego ciała.
Żyroskop - ciało symetryczne obracające się dookoła materialnej osi symetrii, przy czym jeden z punktów osi jest nieruchomy.
Precesja - ruch, jaki powstaje jeżeli ciało wprowadzimy w obrót z prędkością kątową wokół materialnej osi symetrii, a równocześnie osi symetrii nadamy ruch obrotowy dookoła osi w ustalonej przestrzeni. TEORIA UDERZENIOWA
Siły chwilowe - siły które działając na ciało materialne w ciągu bardzo krótkiego czasu osiągają bardzo duże wartości w porównaniu z siłami np. ciężkości. Impuls - ?0? Pdt = s Przyrost krętu ciała materialnego względem dowolnego bieguna wywołamy działaniem siły chwilowej jest równy momentowi jej impulsu względem przyjętego bieguna. Uderzenie proste - przypadek w którym prędkości punktów stykających się ciał leżą na jednej prostej normalnej do powierzchni obu ciał.
Uderzenie środkowe - jeżeli normalna uderzeniowa przechodzi przez środek mas uderzających o siebie ciał. Hipoteza Poissona - Impuls s'' odpowiadający drugiemu okresowi uderzenia (prędkości są sobie równe siła wzajemnego oddziaływania maleje do 0) związany jest z impulsem s' odpowiadającemu pierwszemu okresowi uderzenia (rozpoczynającym się w momencie zetknięcia, aż do momentu w którym prędkości na skutek odkształceniom nie zrównają się) związkiem: s'' = k * s' k - współczynnik restytucji wyznaczmy na podstawie doświadczeń
k=1 dla ciał doskonale sprężystych Więzy - czynniki ograniczające ruch ciała
Reakcje - siły oddziaływania więzów
Klasyfikacja więzów :
Geometryczne - równanie więzów zawiera tylko współrzędne punktów
Kinematyczne - równanie więzów zależy od prędkości
Reonomicze, niestacjonarne - zależy od czasu
Skleronomiczne, stacjonarne - niezależne od czasu
Auholonomiczne - zależne od prędkości
Gładkie, idealne - więzy w których nie występują reakcje sztywne
Obustronne ?j(x, y, z ... xn, yn, zn) = 0
Jednostronne ?j(x, y, z ... xn, yn, zn) =< 0, >= 0
Holonomiczne - niezależne od prędkości Współrzędne uogólnione - odpowiednio dobrane niezależne parametry pozwalające określić położenie nieswobodnego układu materialnego. Ilość współrzędnych uogólnionych jest równa liczbie swobody układu.
Przesunięcia możliwe - zgodne z więzami Przesunięcia przygotowane (wirtualne) - przesunięcia proporcjonalne do prędkości możliwych (zgodnych z więzami).
Praca przygotowana - elementarna praca siły P na przygotowanym przesunięciu jej punktu przyłożenia
Zasada Lagrange'a-d'Alemberta (prac przygotowanych) - WKW równowagi układu materialnego jest, aby suma prac przygotowanych z wszystkich sił czynnych i reakcji więzów przy dowolnym przesunięciu przygotowanym była równa zero.
?i=1nPi?ri = 0
Siły uogólnione - siły wykonujące pracę elementarną na odpowiadającej współrzędnej uogólnionej
?L = ?k=1LQk?qk Qj = d/dt(?Ek/?qj) - ?Ek/?qj
Siła uogólniona jest równa zmianie w czasie pochodnej Ek układu względem odpowiedniej prędkości uogólnionej, pomniejszonej o pochodną Ek względem współrzędnej uogólnionej. Równanie Lagrange'a I rodzaju:
Rix = ?j=1f?j*(?Fj/?xj) = mix''i - xi
Riy = ?j=1f?j*(?Fj/?yj) = miy''i - yi
Riz = ?j=1f?j*(?Fj/?zj) = miz''i - zi Równanie Lagrange'a II rodzaju:
Qj = d/dt(?Ek/?qj) - ?Ek/?qj j=1,2,,....,k Twierdzenie Vorginiona - moment siły wypadkowej dowolnego układu sił względem dowolnego punktu równy jest sumie momentów wszystkich sił składowych tego układu względem tego punktu.
Kręt k=r?p; k=r ?mV



Dane autora:




wiedza.diaboli.pl / Mechanika

190 IP banned